Maturitní okruhy z matematiky

o1	o2	o3	o4	o5	o6	o7	o8	o9	Procvičte si úlohy z jednotlivých maturitních okruhů. Prostudujte si teorii, ovládejte definice a věty, které používáte. Dokažte svá tvrzení.	hlavni strana okruhy
o10	o11	o12	o13	o14	o15	o16	o17	o18
o19	o20	o21	o22	o23	o24	o25	o26	o27

Elipsa a kružnice
školní rok 2008/2009

okruh číslo 3
1.	Řekněte a symbolicky zapište definici elipsy (kružnice). Napište středovou rovnici kružnice, jestliže a) S[0, 0], AB x, b) S[0, 0], AB y, c) S[m, n], AB \|\| x, d) S[m, n], AB \|\| y. Pro které hodnoty parametrů a, b se stane elipsa kružnicí?
2.	Napište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka AB, A[0, -3], B[4, 3].
3.	Zjistěte, pro které hodnoty parametru p je rovnice x² + y² - 2 x + 10 y + p = 0 rovnicí kružnice. Určete souřadnice středu a poloměr.
4.	Určete analyticky množinu všech bodů v rovině, které mají od bodu A[-1, 3] třikrát větší vzdálenost než od bodu B[6, -7]. Tuto množinu zobrazte v soustavě souřadné.
5.	Napište rovnici kružnice. a) Opsané trojúhelníku ABC. A[-1, 3], B[0, 2], C[1, -1]. b) Vepsané trojúhelníku KLM. K[2, 1], L[6, 4], M[6, 1].
6.	Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na ose x a která se dotýká přímek daných rovnicemi x - 8 = 0, y - 3 = 0.
7.	Najděte rovnici kružnice souměrně sdružené s kružnicí o rovnici (x - 1)² + (y - 2)² = 1 vzhledem k přímce o rovnici x - y - 3 = 0.
8.	Najděte rovnici tečny kružnice x² + y² - 6 x - 10 y + 9 = 0 v daném bodě T[-1, 2].
9.	Vypočítejte velikost úhlu, pod kterým je vidět kružnici x² + y² + 3 x + 4 y - 6 = 0 z bodu R[-7, -2].
10.	Jsou dány body A[1, 1], B[5, -2]. Určete rovnice všech kružnic, které se dotýkají osy x a v bodě A přímky AB.
11.	Zjistěte, zda je rovnice 9 x² + 25 y² - 54 x - 100 y - 44 = 0 rovnicí elipsy. Potom určete souřadnice bodů S, A, B, C, D, F₁, F₂ a elipsu načrtněte v soustavě souřadné.
12.	Vypočítejte délku tětivy elipsy b²x² + a²y² = a²b² vedenou ohniskem elipsy kolmo k hlavní ose elipsy.
13.	Je dána elipsa x² + 4 y² - 16 = 0. Určete hodnoty reálného parametru c tak, aby přímka p: 2 x - 3 y + c = 0 byla a) sečnou, b) tečnou, c) nesečnou dané elipsy.
14.	Napište parametrické rovnice oblouku elipsy v 1. kvadrantu, víme-li, že e = 3, a = 5, S[0, 0], AB x. Dále zjistěte, ve kterém bodě protíná přímka y = x tento oblouk elipsy.
15.	Určete množinu všech bodů v rovině, které mají od přímky x = 8 třikrát větší vzdálenost než od bodu K[0, 4]. Množinu zobrazte v soustavě souřadné.
16.	Najděte rovnice tečen vedených k elipse 9 x² + 25 y² - 18 x + 100 y - 116 = 0 z bodu R[-4, 7].
17.	Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního elipsoidu.
18.	Vyjádřete kružnici (elipsu) parametricky.
19.	Vyjádřete kružnici (elipsu) racionálními zlomky.
20.	Najděte společné body elipsy b²x² + a²y² = a²b² a kružnice dané rovnicí x² + y² = r².
21.	Dokažte, že součin vzdáleností ohnisek elipsy od libovolné tečny elipsy je konstantní. Určete tuto konstantu.