| okruh číslo 19 |
| 1. |
Vysvětlete pojmy
 výroková forma,
výrok.
|
| 2. |
Vysvětlete pojem tautologie výrokové logiky. Dokažte, že dané výrokové formy jsou tautologiemi:
a)
 ,
b)
 ,
c)
 ,
d)
 .
Jak se nazývá implikace
 vzhledem k implikaci
 ?
|
| 3. |
Doplňte místo otazníku  tak ,abychom dostali tautologii výrokové logiky:
|
| 4. |
Vysvětlete rozdíl mezi matematickou definicí a matematickou větou. Řekněte (napište) příklad matematické definice a matematické věty. |
| 5. |
Jaké znáte typy důkazů v matematice? (stručně charakterizujte a vysvětlete) |
| 6. |
Kolika způsoby lze (teoreticky) dokazovat větu ve tvaru implikace (ekvivalence)? |
| 7. |
Formulujte negaci výroků:
Přímka prochází nejvýše čtyřmi body.
Mezi přirozenými čísly je alespoň jedno číslo dokonalé.
f(x) je rostoucí v množině M tehdy, když
x1, x2  M;
x1 < x2
f(x1) < f(x2)
|
| 8. |
Dokažte:
Pro každé dva trojúhelníky se stranami a, b, c a p, q, r platí:
(a + 1)2 + (b - 1)2 + (c + 1)2 - 2 ( a p + b q + c r ) > 6 - (p + 1)2 - (q - 1)2 - (r + 1)2.
Dokažte, že pro reálná čísla a, b, p, q platí:
a2 p2 + a2 q2 + b2 p2 + b2 q2 + a2 + b2 + p2 + q2
( a p + b q )2 + 2 a p + 2 b q. Zjistěte, kdy platí rovnost.
Dokažte, že pro délky a, b, c stran libovolného trojúhelníku platí:
Pro které trojúhelníky nastane v předchozím vztahu rovnost?
Dokažte, že je posloupnost  rostoucí posloupností.
|
| 9. |
Dokažte vztah mezi aritmetickým a geometrickým průměrem dvou kladných reálných čísel a, b. |
| 10. |
Dokažte, že pro každou dvojici kladných reálných čísel a, b platí:
|
| 11. |
Dokažte, že pro každou trojici kladných reálných čísel a, b, c platí:
|
| 12. |
Vysvětlete princip důkazu sporem. Potom dokažte následující výroky (věty):
Číslo
 je iracionální.
Číslo log 7 je iracionální.
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
|
| 13. |
Najděte vzorec pro částečný součet sn následující řady, vzorec přesně zapište a dokažte jej:
| a) |
1 + 2 + 3 + 4 + ... |
b) |
1 + 3 + 5 + 7 + ... |
| c) |
1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... |
d) |
 |
|
| 14. |
Najděte největšího společného dělitele všech hodnot daného výrazu pro všechna n N. Formulujte hypotézu a potom ji dokažte:
| |
52n-1 + 7n-1 |
|
42n-1 + 3n+1 |
|
2n+2 + 32n+1 |
|
| 15. |
Řešte v R rovnici :
|
| 16. |
Dokažte, že pro každé n N platí. Jestliže 3 dělí (n2 + 2) 3 nedělí n.
|
| 17. |
Dokažte, že pro každá dvě a, b Z platí. Jestliže jsou čísla a . b, a2 + b2 nesoudělná, potom jsou nesoudělná čísla a, b.
|
| 18. |
Jak se dokazuje rovnost dvou množin, například M = N ?
|
| 19. |
Vyšetřete množinu všech bodů X v rovině, které mají od bodu A[-3, 6] dvakrát větší vzdálenost než od počátku soustavy souřadné.
|
| 20. |
Jsou dány body M[-1, 0], N[1, 0]. Vyšetřete množinu všech bodů X v rovině, pro které platí:
| a) |
| XM | + | XN | = 6 |
b) |
| XM | + | XN | = 1 |
| c) |
| XM | - | XN | = 1 |
d) |
| XN | - | XM | = 1 |
|
| 21. |
Dokažte graficky a potom zkouškou, že má daná rovnice jediné řešení v intervalu (2, 4)
|
