o1 o2 o3 o4 o5 o6 o7 o8 o9 Procvičte si úlohy z jednotlivých maturitních okruhů. Prostudujte si teorii, ovládejte definice a věty, které používáte. Dokažte svá tvrzení. hlavni strana okruhy o10 o11 o12 o13 o14 o15 o16 o17 o18 o19 o20 o21 o22 o23 o24 o25 o26 o27

Variace, permutace a kombinace (s opakováním), binomická věta školní rok 2008/2009

okruh číslo 21
1.	Vypočítejte: a) (x2 + y)5 = b) (x2 - y)5 =
2.	Doplňte (řešte) následující úlohy: a) ? a,b R, ? n ? , ( a + b )n = ? b) Ak = ? c) 2n = ? d) (a - b)n = ? e) Jaké maximální chyby se dopustíme, jestliže při výpočtu čísla 1,0016 použijeme prvních dvou členů binomického rozvoje výrazu (1 + 0,001)6 ? Můžete své tvrzení obhájit? f) Dokažte binomickou větu.
3.	Kolika způsoby dovedete dokázat větu: n N; 7 | 62n - 1 ?
4.	Jak lze postupovat při výpočtu 5. mocniny komplexního čísla ( 1 - i )? Který z možných způsobů výpočtu je efektivnější?
5.	Dokažte pomocí binomické věty: Pro každé přirozené číslo n je daný výraz V(n) roven celému číslu.
6.	V rozvoji výrazu V je součet prvních tří koeficientů 67. Určete z této podmínky absolutní člen rozvoje výrazu V.
7.	V rozvoji výrazu (1 + x)n je třetí člen 84 a čtvrtý člen 280. Určete x, n.
8.	Definujte variaci, permutaci a kombinaci s opakováním. Napište vzorce pro zjištění počtu.
9.	Státní poznávací značka auta je tvořena uspořádanou sedmicí, jejíž první tři členy jsou písmena (lze použít 26 písmen A, B, ..... , X, Y, Z) a další čtyři číslice. Určete, kolik značek lze sestavit.
10.	Určete počet všech podmnožin množiny { a , b , c } a vysvětlete: a) Jak tento problém souvisí s variacemi s opakováním? b) Kolika způsoby lze prvky dané množiny rozdělit do dvou přihrádek?
11.	Dokažte: P’(k, n - k) = K(k, n) (k, n N0 , 0 k n ).
12.	Doplňte a vysvětlete, co to znamená: P’ (1,1,1, ... ,1) = ? (předpokládejme, že jedniček v závorce je n).
13.	Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova BATERKA tak, aby se souhlásky a samohlásky střídaly.
14.	Co je to anagram? Kolik anagramů lze vytvořit z věty ALENA JE DOMA? Kolik anagramů lze vytvořit ze slova KOMBINATORIKA? Kolik anagramů (vytvořených ze slova KOMBINATORIKA) začíná písmenem K? Kolik anagramů (vytvořených ze slova KOMBINATORIKA) nezačíná dvojicí písmen KT?
15.	Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky a) na dvě pevně zvolené řady šachovnice 8 x 8; b) na libovolné dvě řady šachovnice 8 x 8.
16.	Kolik částek lze zaplatit třemi mincemi (v peněžence máme dostatečný počet jedno, dvou a pětikorunových mincí). Ukažte způsob odvození počtu částek a úlohu zobecněte.
17.	Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má velikost vyjádřenou jedním z čísel 4, 5, 6, 7. Kolik z těchto trojúhelníků je pythagorejských?
18.	Dokažte K’(k, n) = K(k, n + k - 1).
19.	Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má velikost vyjádřenou některým z čísel n+1, n+2, n+3, ... , 2n, (n je přirozené číslo). Kolik těchto trojúhelníků je rovnoramenných (rovnostranných)?
20.	Co je to Apolloniova úloha? Určete počet Apolloniových úloh. Ukažte řešení Apolloniovy úlohy BBp.

© 2004 Milan Rieger - web design, grafika