Okruh 19    2 - 3 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21
 8. Dokažte:
Pro každé dva trojúhelníky se stranami a, b, c a p, q, r platí:
(a + 1)2 + (b - 1)2 + (c + 1)2 - 2 ( a p + b q + c r ) > 6 - (p + 1)2 - (q - 1)2 - (r + 1)2.
 

Nejdříve provedeme rozbor úlohy:
(a + 1)2 + (b - 1)2 + (c + 1)2 - 2 ( a p + b q + c r ) > 6 - (p + 1)2 - (q - 1)2 - (r + 1)2
a2 + 2 a + 1 + b2 - 2b + 1 + c2 + 2 c + 1 - 2 a p - 2 b q - 2 c r > 6 - p2 - 2 p - 1 - q2 + 2 q - 1 - r2 - 2 r - 1
(a2 - 2 a p + p2) + (b2 - 2 b q + q2) + (c2 - 2 c r + r2) + 2 (a - b + c) + 2 (p - q + r) > 0
(a - p)2 + (b - q)2 + (c - r)2 + 2 (a - b + c) + 2 (p - q + r) > 0
Straně a přiřadíme stranu p, straně b stranu q a straně c stranu r. Potom musí platit
 (a - p)2 0
 (b - q)2 0
 (c - r)2 0
z existence trojúhelníka se stranami a, b, c plyne a + c - b > 0, potom také musí platit  2 (a + c - b) > 0
z existence trojúhelníka se stranami p, q, r plyne p - q + r > 0, potom také musí platit  2 (p - q + r) > 0
Důkaz dané nerovnosti bude obrácením rozboru. Můžeme říci, že rozbor jsme dělali proto, abychom věděli, kde máme důkaz začít.
Důkaz:
Předpokládáme, že a, b, c jsou délky stran jednoho trojúhelníka, p, q, r strany druhého trojúhelníka. Straně a přiřadíme stranu p, straně b stranu q a straně c stranu r. Sečtením nerovností označených symbolem dostaneme:
(a - p)2 + (b - q)2 + (c - r)2 + 2 (a - b + c) + 2 (p - q + r) > 0
(a2 - 2 a p + p2) + (b2 - 2 b q + q2) + (c2 - 2 c r + r2) + 2 (a - b + c) + 2 (p - q + r) > 0
a2 + 2 a + 1 + b2 - 2b + 1 + c2 + 2 c + 1 - 2 a p - 2 b q - 2 c r > 6 - p2 - 2 p - 1 - q2 + 2 q - 1 - r2 - 2 r - 1
(a + 1)2 + (b - 1)2 + (c + 1)2 - 2 ( a p + b q + c r ) > 6 - (p + 1)2 - (q - 1)2 - (r + 1)2

  Dokažte, že pro reálná čísla a, b, p, q platí:
a2 p2 + a2 q2 + b2 p2 + b2 q2 + a2 + b2 + p2 + q2 ( a p + b q )2 + 2 a p + 2 b q. Zjistěte, kdy platí rovnost.
 

Rozbor úlohy:
a2 p2 + a2 q2 + b2 p2 + b2 q2 + a2 + b2 + p2 + q2 a2 p2 + 2 a b p q + b2 q2 + 2 a p + 2 b q
(a2 - 2 a p + p2) + (b2 - 2 b q + q2) + (a2 q2 - 2 a b p q + b2 p2) 0
(a - p)2 + (b - q)2 + (a q - b p)2 0
rovnost nastane v případě, když bude platit a = p b = q (potom musí být také a q = b p).
Důkaz:
Pro libovolnou čtveřici reálných čísel a, b, p, q platí:
 (a - p)2 0
 (b - q)2 0
 (a q - b p)2 0
sečtením označených () nerovností dostaneme:
(a - p)2 + (b - q)2 + (a q - b p)2 0
(a2 - 2 a p + p2) + (b2 - 2 b q + q2) + (a2 q2 - 2 a b p q + b2 p2 0
a2 p2 + a2 q2 + b2 p2 + b2 q2 + a2 + b2 + p2 + q2 a2 p2 + 2 a b p q + b2 q2 + 2 a p + 2 b q
a2 p2 + a2 q2 + b2 p2 + b2 q2 + a2 + b2 + p2 + q2 ( a p + b q )2 + 2 a p + 2 b q

  Dokažte, že pro délky a, b, c stran libovolného trojúhelníku platí:

Pro které trojúhelníky nastane v předchozím vztahu rovnost?
 

Rozbor úlohy:
Čísla a, b, c jsou kladná a kladným musí být také číslo a b c2. Tímto číslem vynásobíme danou nerovnost, dostaneme:
a2 c2 + b2 c2 - (a2 - b2)2 2 a b c2
(a2 c2 - 2 a b c2 + b2 c2) - (a2 - b2)2 0
c2 (a2 - 2 a b + b2) - (a2 - b2)2 0
c2 (a - b)2 - [(a - b) (a + b)]2 0
(a - b)2 [c2 - (a + b)2] 0
(a - b)2 (c - a - b) (c + a + b) 0
Protože a, b, c jsou délky stran trojúhelníka, musí být c + a + b > 0. Současně musí platit a + b > c,
tedy 0 > c - a - b. Dále musí platit (a - b)2 0. Rovnost nastane v případě a = b (trojúhelník je rovnoramenný).
Důkaz:
Pro délky stran a, b, c trojúhelníka platí
 c + a + b > 0
 0 > c - a - b
 (a - b)2 0.
Vynásobením těchto čísel dostaneme:
(a - b)2 (c - a - b) (c + a + b) 0
(a - b)2 [c - (a + b)] [c + (a + b)] 0
(a - b)2 [(c2 - (a + b)2] 0
(a - b)2 c2 - (a - b)2 (a + b)2 0
(a2 - 2 a b + b2) c2 - (a2 - b2)2 0
(a2 + b2) c2 - 2 a b c2 - (a2 - b2)2 0
(a2 + b2) c2 - (a2 - b2)2 2 a b c2 ...... nerovnost vydělíme kladným číslem a b c2
  Dokažte, že je posloupnost    rostoucí posloupností.
 

Rozbor úlohy:
Pojem rostoucí posloupnosti je přesně definovaným pojmem. Podle této definice máme tedy dokázat, že pro každé přirozené číslo n platí an < an+1 (tedy 0 < an+1 - an). Symbolicky zapsáno:
Posloupnost an je rostoucí v N    n N; an < an+1
                                               

(3 n + 2) (n + 2) < (3 n + 5) (n + 1)
3 n2 + 8 n + 4 < 3 n2 + 8 n + 5
0 < 1 .... výrok pravdivý
Důkaz:
Pro libovolné přirozené číslo n platí:
0 < 1 ................................................... / + 3 n2 + 8 n + 4
3 n2 + 8 n + 4 < 3 n2 + 8 n + 5
(3 n + 2) (n + 2) < (3 n + 5) (n + 1) .................. / : (n + 2) (n + 1)

an < an+1
tedy podle definice je daná posloupnost rostoucí

Gymnázium V. Hlavatého, Poděbradova 661, 440 62 Louny
© 2004 Milan Rieger - webdesign, grafika