Okruh 10 - příklad 3

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18

Dokažte vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti.

V dalších úvahách předpokládáme nenulovost kvocientu q. Pro q = 0 je vše triviální.
Máme se zabývat určením čísla s_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n. Budeme rozlišovat dva případy:
1) předpokládejme q = 1
s_n = a₁ + a₁ + a₁ + ... + a₁ = n . a₁
přesná formulace: Pro libovolnou geometrickou posloupnost s g = 1, pro libovolné n přirozené platí s_n = n . a₁.

   Pravdivost výroku budeme dokazovat úplnou matematickou indukcí vzhledem k proměnné n.
   I. Pro n = 1 platí s₁ = a₁, tedy V(1) platí.
   II.

N₂; s_k = k . a₁

s_k+1 = (k+1) . a₁
Pro libovolné přirozené číslo k (k>1) platí s_k+1 = s_k + a₁ = k . a₁ + a₁ = (k+1) . a₁.

2) předpokládejme q 1
   s_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n
   s_n = a₁ + a₁ . q + a₁ . q² + ... + a₁ . q^n-2 + a₁ . q^n-1                / . q
   s_n . q = a₁ . q + a₁ . q² + a₁ . q³ + ... + a₁ . q^n-1 + a₁ . qⁿ
   s_n . q - s_n = a₁ . qⁿ - a₁
   s_n . (q - 1) = a₁ . (qⁿ - 1)            /:(q - 1)

přesná formulace: Pro libovolnou geometrickou posloupnost (g

1), pro libovolné n přirozené platí

Pravdivost výroku budeme dokazovat úplnou matematickou indukcí vzhledem k proměnné n.
I. Pro n = 1 platí

= a₁, tedy V(1) platí.
II.

N₂;

s_k+1 = s_k + a_k+1 =

+ a_k+1 =

+ a₁ . g^k = a₁ .

Gymnázium V. Hlavatého, Poděbradova 661, 440 62 Louny