54. ročník MO 2004/2005, kategorie C

KATEGORIE C

(54. ročník matematické olympiády, školní rok 2004/2005, úlohy I. kola - domácího kola)

C - I - 1

Nechť a, b, c, d jsou taková reálná čísla, že a + d = b + c. Dokažte nerovnost (a - b)(c - d) + (a - c)(b - d) + (d - a)(b - c)

E. Kováč

C - I - 2

Zjistěte, pro která přirozená čísla n (n

2) je možno z množiny {1, 2, ... , n - 1} vybrat navzájem různá sudá čísla tak, aby jejich součet byl dělitelný číslem n.

J. Zhouf

C - I - 3

V libovolném konvexním čtyřúhelníku ABCD označme E střed strany BC a F střed strany AD. Dokažte, že trojúhelníky AED a BFC mají stejný obsah, právě když jsou strany AB a CD rovnoběžné.

J. Šimša

C - I - 4

Tři čtyřmístná čísla k, l, m jsou stejného tvaru ABAB (tj. číslice na místě jednotek je stejná jako číslice na místě stovek a číslice na místě desítek je stejná jako číslice na místě tisíců). Číslo l má číslici na místě jednotek o 2 větší a číslici na místě desítek o 1 menší než číslo k. Číslo m je součtem čísel k a l a je dělitelné devíti. Určete všechna taková čísla k.

T. Joska

C - I - 5

Určete počet všech trojic dvojmístných přirozených čísel a, b, c, jejichž součin abc má zápis, ve kterém jsou všechny číslice stejné. Trojice lišící se pouze pořadím čísel považujeme za stejné, tj. započítáváme je pouze jednou.

J. Šimša

C - I - 6

V trojúhelníku ABC se stranou BC délky 2 cm je bod K středem strany AB. Body L a M rozdělují stranu AC na tři shodné úsečky. Trojúhelník KLM je rovnoramenný a pravoúhlý. Určete délky stran AB, AC všech takových trojúhelníků ABC.

P. Leischner