hlavni Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 C B A

KATEGORIE A

(54. ročník matematické olympiády, školní rok 2004/2005, úlohy I. kola - domácího kola)

A - I - 1

Neprázdnou množinu přirozených čísel nazveme malou, když má méně prvků, než je její nejmenší prvek. Určete počet všech malých množin M, které jsou podmnožiny množiny {1, 2, 3, ... , 100} a mají tuto vlastnost: patří-li do M dvě různá čísla x a y, patří do M rovněž číslo | x - y |.

J. Földes

A - I - 2

Nechť M je libovolný vnitřní bod kratšího oblouku CD kružnice opsané čtverci ABCD. Označme P, R průsečíky přímky AM po řadě s úsečkami BD, CD a podobně Q, S průsečíky přímky BM s úsečkami AC, DC. Dokažte, že přímky PS a QR jsou navzájem kolmé.

J. Švrček

A - I - 3

Nechť k je libovolné přirozené číslo. Uvažujme dvojice (a, b) celých čísel, pro něž mají kvadratické rovnice x2 - 2 a x + b = 0, y2 + 2 a y + b = 0 reálné kořeny (ne nutně různé), které lze označit x1,2, resp. y1,2, takovém pořadí, že platí rovnost x1y1 - x2y2 = 4k. a) Pro dané k určete největší možnou hodnotu b za všech takových dvojic (a, b). b) Pro k = 2004 určete počet všech takových dvojic (a, b). c) Pro dané k vypočtěte součet čísel b ze všech takových dvojic (a, b), přičemž každé číslo b se přičítá tolikrát, v kolika dvojicích (a, b) vystupuje.

E. Kováč

A - I - 4

Dané aritmetické posloupnosti a mají stejný první člen a následující vlastnost: existuje index k (k > 1), pro který platí rovnosti (xk)2 - (yk)2 = 53, (xk-1)2 - (yk-1)2 = 78, (xk+1)2 - (yk+1)2 = 27. Najděte všechny takové indexy k.

V. Bálint

A - I - 5

V lichoběžníku ABCD (AB || CD) platí |AB| = 2 |CD|. Označme E střed ramene BC. Dokažte, že rovnost |AB| =|BC| platí, právě když čtyřúhelník AECD je tečnový.

R. Horenský

A - I - 6

Najděte všechny funkce f: , které vyhovují současně následujícím třem podmínkám: a) Pro libovolná nezáporná reálná čísla x, y taková, že x + y > 0, platí rovnost ; b) f(1) = 0; c) f(x) > 0 pro libovolné x > 1.

P. Calábek

© 2004 Milan Rieger - web design