| KATEGORIE C |
| (52. ročník matematické olympiády, školní rok 2002/2003, úlohy I. kola - domácího kola) |
| C - I - 1 |
|
Z pěti jedniček, pěti dvojek, pěti trojek, pěti čtyřek a pěti pětek sestavte pět navzájem různých pětimístných čísel tak, aby jejich součet byl co největší.
|
| (J. Šimša) |
| C - I - 2 |
|
Je dán trojúhelník ABC s ostrými vnitřními úhly při vrcholech A a B. Označme Q průsečík těžnice AD s výškou CP a E patu kolmice z bodu D na stranu AB. Dále nechť R je bod na polopřímce opačné k PC takový, že |PR| = |CQ|. Dokažte, že přímky AD a RE jsou různoběžné a že jejich průsečík leží na kolmici k přímce AB procházející bodem B.
|
| (J. Švrček) |
| C - I - 3 |
|
Předpokládejme, že každá ze dvou bank A a B bude mít po následující dva roky stálou roční úrokovou míru. Kdybychom uložili 5/6 našich úspor u banky A a zbytek u banky B, vzrostly by naše úspory po jednom roce na 67 000 Kč a po dvou letech na 74 900 Kč. Kdybychom však uložili 5/6 našich úspor u banky B a zbytek u banky A, vzrostly by naše úspory po jednom roce na 71 000 Kč. Na jakou částku by se v takovém případě naše úspory zvýšily po dvou letech?
|
| (J. Šimša) |
| C - I - 4 |
|
Sestrojte lichoběžník ABCD s výškou 3 cm a shodnými stranami BC, CD a DA, pro který platí: Na základně AB existuje takový bod E, že úsečka DE má délku 5 cm a dělí lichoběžník na dvě části se stejnými obsahy.
|
| (E. Kováč) |
| C - I - 5 |
|
K přirozenému číslu m zapsanému stejnými číslicemi jsme přičetli čtyřmístné přirozené číslo n. Získali jsme čtyřmístné číslo s opačným pořadím číslic, než má číslo n. Určete všechny takové dvojice čísel m a n.
|
| (J. Zhouf) |
| C - I - 6 |
|
V rovině je dána přímka p a kružnice k. Sestrojte takový trojúhelník ABC, že k je kružnice jemu vepsaná a její střed leží v jedné čvrtině těžnice tc trojúhelníku ABC blíže straně AB. Proveďte diskusi o počtu řešení v závislosti na vzájemné poloze přímky p a kružnice k.
|
| (P. Černek) |
| © 2004 Milan Rieger - web design, grafika |