hlavni Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 C B A

KATEGORIE A

(52. ročník matematické olympiády, školní rok 2002/2003, úlohy I. kola - domácího kola)

A - I - 1

Posloupnost celých čísel s prvním členem x1 = 1 splňuje podmínku s vhodnou volbou znamének "+" a "-" pro libovolné n > 1, například x2 = -x1, x3 = -x2 + x1, x4 = x3 - x2 - x1,... Pro dané n určete všechny možné hodnoty xn.

(J. Földes)

A - I - 2

Na přímce p jsou dány různé body A, B, C v tomto pořadí, kde |AB| = 1 a |BC| = h. Uvažujme kružnice kA, kB, kC, které se dotýkají přímky p po řadě v bodech A, B, C. Kružnice kA, kB mají přitom vnější dotyk v bodě P a kružnice kB, kC vnější dotyk v bodě Q. Určete všechny hodnoty poloměru kružnice kB, pro něž je trojúhelník BPQ rovnoramenný.

(J. Zhouf)

A - I - 3

Určete všechny možné hodnoty výrazu kde a, b, c jsou délky stran trojúhelníku.

(P. Kaňovský)

A - I - 4

Určete všechna přirozená čísla n > 1taková, že v některé číselné soustavě o základu z 5 platí následující kririum dělitelnosti: trojmístné číslo (abc)z je dělitelné číslem n, právě když je číslem n dělitelné číslo c + 3 b - 4 a.

(P. Černek)

A - I - 5

V rovině jsou dány tři různé body K, L, M, které v tomto pořadí leží na přímce. V této rovině najděte množinu všech vrcholů C čtverců ABCD takových, že bod K leží na straně AB, bod L na úhlopříčce BD a bod M na straně CD.

(J. Šimša)

A - I - 6

Hráči A a B hrají na desce složené ze šesti polí očíslovaných 1, 2, ... , 6 následující hru. Na začátku je umístěna na pole s číslem 2 figurka a pak se hází běžnou hrací kostkou. Padne-li číslo dělitelné třemi, posune se figurka na pole s číslem o 1 menším, jinak na pole s číslem o 1 větším. Hra končí vítězstvím hráče A resp. B, dostane-li se figurka na pole s číslem 1 resp. 6. S jakou pravděpodobností zvítězí hráč A?

(P. Černek)

© 2004 Milan Rieger - web design, grafika