| hlavni Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 C B A |
| KATEGORIE B |
| (52. ročník matematické olympiády, školní rok 2002/2003, úlohy I. kola - domácího kola) |
| B - I - 1 |
| Palindromem rozumíme přirozené číslo, které se čte zepředu i zezadu stejně, např. 16 261. Najděte největší čtyřmístný palindrom, jehož druhá mocnina je také palindromem. |
| (E. Kováč) |
| B - I - 2 |
|
Najděte všechny trojice reálných čísel (x,y,z) vyhovující soustavě rovnic x2 y + y2 x = 6 z3. |
| (J. Zhouf) |
| B - I - 3 |
| Je dán trojúhelník se stranami délek a, b, c a obsahem S. Dokažte, že rovnost 2c2 = | a2 - b2 | platí, právě když existuje trojúhelník se stranami délek a, b, 2c a obsahem 2S. |
| (P. Černek) |
| B - I - 4 |
| Krokem budeme rozumět nahrazení uspořádané trojice celých čísel (p, q, r) trojící (r + 5q, 3r - 5p, 2q -3p). Rozhodněte, zda existuje celé číslo k takové, že trojice (1, 3, 7) vznikne po konečném počtu kroků trojice (k, k + 1, k + 2). |
| (P. Černek) |
| B - I - 5 |
| V rovině je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD s delší základnou AB a pravým úhlem při vrcholu A. Kružnice k1 sestrojená nad stranou AD jako průměrem a kružnice k2, která prochází vrcholy B, C a dotýká se přímky AB, mají vnější dotyk v bodě P. Dokažte, že úhly CPD a ABC jsou shodné. |
| (J. Švrček) |
| B - I - 6 |
|
V kartézské soustavě souřadnic Ouv znázorněte množinu všech bodů [u,v], kde u > 0, pro něž má rovnice s neznámou x právě tři různá reálná řešení. |
| (J. Šimša) |
| © 2004 Milan Rieger - web design, grafika |