Okruh 10    1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18
 7. Určete a1 a q v geometrické posloupnosti, ve které platí: a1 + a3 + a5 = 105 a2 + a4 = 50.
 

Využitím vzorce pro n-tý člen geometrické posloupnosti dostáváme:
a1 + a1 . q2 + a1 . q4 = 105 a1 . q + a1 . q3 = 50
a1 . (1 + q2 + q4) = 105 a1 . (q + q3) = 50      rovnice vydělíme a dále rovnici uprvíme na tvar
10 . q4 - 21 . q3 + 10 . q2 - 21 . q + 10 = 0     dostáváme tzv. reciprokou rovnici 4. stupně, vydělíme ji mocninou q2

Reciprokou rovnicí nazýváne každou rovnici tvaru a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + ... + an = 0,
kde buď ai = an-i (i=0, 1, 2, ..., n) - tzv. kladně reciproká rovnice, nebo ai = - an-i (i=0, 1, 2, ..., n) - tzv. záporně reciproká rovnice.
      rovnici dále upravíme takto
      rovnici budeme dále řešit následující substitucí
            (*)
      
            po zpětném dosazení do rovnice a dalších úpravách dostáváme rovnici
10 z2 - 21 . z - 10 = 0      D = 841
z1 = 2,5; z2 = - 0,4
Za z = 2, 5 dosadíme do rovnice (*), dostaneme rovnici 2 q2 - 5 q + 2 = 0, která má kořeny q1 = 2, q2 = 0,5.
Pro q = 2 dostáváme a1 = 5, dále potom a2 = 10, a3 = 20, a4 = 40, a5 = 80.
Pro q = 0,5 dostáváme a1 = 80, dále potom a2 = 40, a3 = 20, a4 = 10, a5 = 5.
Dosadíme-li za z = - 0,4 do rovnice (*), dostaneme rovnici 5 q2 + 2 q + 5 = 0, která nemá reálné kořeny (D= - 96).

Gymnázium V. Hlavatého, Poděbradova 661, 440 62 Louny
© 2004 Milan Rieger - webdesign, grafika