Okruh 10 - příklad 2

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18

Dokažte.
V geometrické posloupnosti s kvocientem q platí pro každé přirozené číslo n a_n = a₁ q^n-1.

Z rekurentní definice geometrické posloupnosti plyne:
pro n = 1 dostáváme: a₂ = a₁ . q,
pro n = 2 dostáváme: a₃ = a₂ . q = a₁ . q . g = a₁ . q²,
pro n = 3 dostáváme: a₄ = a₃ . q = a₁ . q² . g = a₁ . q³,
pro n = 4 dostáváme: a₅ = a₄ . q = a₁ . q³ . g = a₁ . q⁴,
...................................................................................................................................................
Neúplným zobecněním (indukcí) dostaneme obecné tvrzení (obecnou hypotézu). Předpokládejme, že q je nenulové reálné číslo.

Pro každé přirozené číslo n platí a_n = a₁ . q^n-1.

Všeobecná encyklopedie DIDEROT 1999(svazek 3, strana 347) vysvětlení pojmu indukce:
1. filozofie, logika usuzování od jednotlivého k obecnému; myšlenkový postup umožňující z pozorování jednotlivých faktů vyvodit existenci obecných zákonitostí. Závěr vyvozený indukcí nemá jednoznačnou hodnotu pravdivostní, platí pouze s určitou pravděpodobností, která závisí především na rozsahu pozorování. Zvláštním případem je úplná indukce, pracující s konečným souborem objektů; závěr vyvozený úplnou indukcí (výčtem všech prvků souboru) pak má jednoznačnou pravdivostní hodnotu. Jedna ze základních metod empirických věd; do filizofie zavedena zejména F. Baconem. Viz též logika induktivní.

Všeobecná encyklopedie DIDEROT 1999(svazek 5, strana 99) vysvětlení pojmu matematická indukce:
metoda důkazu, že výrok V(n) je pravdivý pro všechna přirozená čísla n. Důkaz matematickou indukcí spočívá v tom, že se dokáže:
a) výrok V(1) je pravdivý.
b) výrok V(k) je pravdivý za předpokladu, že V(k-1) je pravdivý výrok.

Vysvětlení pojmu úplné matematické indukce autorem těchto WWW stránek:
Matematická indukce (úplná) je přesný matematický důkaz, který se používá k důkazu vět typu "Pro každé přirozené číslo n platí V(n)". Tato důkazová metoda má řadu variant, lze ji použít i k důkazu vět jiného typu.
Důkaz se skládá ze dvou částí (tzv. kroků), které se často označují římskými číslicemi I. (první krok úplné matematické indukce), II. (druhý krok úplné matematické indukce). Má-li dokazovaná věta platit, musí platit současně oba dva kroky. Postup důkazu obecně je následující:
I. Dokážeme platnost výroku V(n) pro číslo n = 1, tedy dokážeme, že výrok V(1) je pravdivý.
II. Dokážeme, že pro každé přitozené číslo k (k>1) platí: jestliže platí V(k) - tzv. indukční předpoklad, potom platí V(k+1).
Závěr: Jestliže platí současně I. i II. krok úplné matematické indukce, platí věta "Pro každé přirozené číslo n platí V(n)".
Z I. kroku platí výrok V(1), protože platí II. krok úplné matematické indukce, musí platit V(1)

V(2), tedy musí platit V(2) - použití přímého logicky správného úsudku; platí V(2) a současně platí V(2)

V(3), tedy musí platit V(3) atd.

K důkazu hypotézy - Pro každé přirozené číslo n platí a_n = a₁ . q^n-1 - použijeme úplnou matematickou indukci.
I. Pro n = 1 dostaneme a₁ = a₁ . q⁰ = a₁ (předpokládáme q různé od nuly). Tedy V(1) platí.
II.

N₂; a_k = a₁ . q^k-1 (indukční předpoklad)

a_k+1 = a₁ . q^k.
Vzhledem k rekurentní definici geometrcké posloupnosti platí a_k+1 = a_k . q. Vzhledem k indukčnímu předpokladu je
a_k = a₁ . q^k-1. Musí tedy plati a_k+1 = a₁ . q^k-1 . q = a₁ . q^k. Tím je i II. krok úplné matematické indukce dokázán. Protože platí oba dva kroky úplné matematické indukce, musí platit dokazovaná hypotéza.

Gymnázium V. Hlavatého, Poděbradova 661, 440 62 Louny