Nejdříve si připomeňme definici pojmu absolutní hodnota reálného čísla.
Pro libovolné reálné číslo x platí.
Jestliže je x nezáporné reálné číslo, je absolutní hodnota z čísla x rovna číslu x (tedy je to to samé číslo jako číslo zapsané uvnitř symbolu absolutní hodnoty).
Je-li x záporné reálné číslo, je absolutní hodnota tohoto čísla rovna číslu - x (tedy je to číslo opačné vzhledem k číslu zapsanému uvnitř symbolu absolutní hodnoty).
Symbolicky:
Důkaz provedeme odstraňováním absolutní hodnoty pomocí definice. Důkaz se skládá ze čtyř částí.

1) Předpokládejme, že x je nezáporné reálné číslo, tedy x 0 | x | = x.
    Je-li x 0 - x 0 | - x | = - ( - x ) = x. Pro nezáporná reálná čísla tedy platí | x | = | - x |.
2) Předpokládejme, že x je záporné reálné číslo, tedy x < 0 | x | = - x.
    Je-li x < 0 - x > 0 | - x | = - x. Pro záporná reálná čísla tedy platí | x | = | - x |.

Vztah doplníme relací.
Tvrdíme, že pro každou dvojici reálných čísel x, y platí | x | + | y | | x + y |.
1) Předpokládejme, že x + y 0 | x + y | = x + y.
    Protože platí | x | x | y | y | x | + | y | x + y = | x + y |
     | x | + | y | | x + y |.

2) Předpokládejme, že x + y < 0 | x + y | = - ( x + y ).
    Protože platí | x | - x | y | - y
     | x | + | y | ( - x ) + ( - y ) = - ( x + y ) = | x + y |
     | x | + | y | | x + y |.

V dokazovní můžeme postupovat podobně jako při dokazování rovnosti | x . y | = | x | . | y |. K důkazu můžeme také použít tuto (již dokázanou) rovnost takto: