Na obrázku vidíme funkce y = 3 x² - 1 [funkce f(x)] a y = x³ [funkce g(x)]. Jejich vydělením [f(x) : g(x)] dostaneme novou funkci o rovnici [to je funkce ]. Chceme vypočítat derivaci "nové" funkce v libovolném bodě x₀ definičního oboru této funkce [to je množina všech reálných čísel kromě nuly].

Poznámky:

• Tento příklad názorně ukazuje to, že po odderivování následuje zjednodušení vypočítané derivace, to je vlastně zjednodušení algebraického výrazu. Zde budeme potřebovat následující znalosti: roznásobení, vytýkání, rozklad na součin pomocí známých vzorců: a²-b² = ..., aⁿ-bⁿ = ..., atd., krácení. V těchto úpravách bychom neměli dělat chyby, neboť zjednodušená derivace je opět začátkem následných výpočtů. Budeme například řešit následující úlohy:
  "urči, pro která x je první derivace dané funkce rovna nule",
  "urči, pro která x je první derivace dané funkce kladná",
  "urči, pro která x je první derivace dané funkce záporná",
  "vypočítej derivaci první derivace dané funkce, tzv. druhou derivaci dané funkce", atd.
  
• Prostudujte si další ilustrativní příklady.