Okruh 19    2 - 3 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21
17. Dokažte, že pro každá dvě a, b Z platí. Jestliže jsou čísla a . b, a2 + b2 nesoudělná, potom jsou nesoudělná čísla a, b.
 

Větu dokážeme nepřímo. Přímým způsobem budeme dokazovat obměnu dané věty (implikace a její obměna mají vždy stejnou pravdivostní hodnotu - viz tabulka). Přímým způsobem budeme tedy dokazovat větu:
a, b Z; jsou-li čísla a, b soudělná    čísla a . b, a2 + b2 jsou soudělná.

Proměnná k Z bude označovat celé číslo, nebude to však číslo 1 ani -1. Tato čísla jsou společnými děliteli každých dvou celých čísel. Jsou-li čísla a, b soudělná, musí mít alespoň jednoho společného dělitele různého od čísel 1 a -1.
Důkaz:
Čísla a, b jsou soudělná    k Z; a = k . b   
a . b = k . b2
a2 + b2 = (k . b)2 + b2 = (k2 + 1) . b2
  čísla a . b, a2 + b2 mají společného dělitele b2 (b2 1), jsou to tedy soudělná čísla.

Gymnázium V. Hlavatého, Poděbradova 661, 440 62 Louny
© 2004 Milan Rieger - webdesign, grafika