Okruh 19 - příklad 14

Okruh 19

2 - 3 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21

14.

Najděte největšího společného dělitele všech hodnot daného výrazu pro všechna n

N. Formulujte hypotézu a potom ji dokažte:

5^2n-1 + 7^n-1

4^2n-1 + 3ⁿ⁺¹

2ⁿ⁺² + 3²ⁿ⁺¹

Řešení úlohy a)

Do výrazu V(n) = 5^2n-1 + 7^n-1 budeme za n postupně dosazovat přirozená čísla, dostaneme:
n = 1: V(1) = 6
n = 2: V(2) = 132 = 6 . 22
n = 3: V(3) = 3174 = 6 . 529
Na základě výsledku si dovolíme formulovat obecnou hypotézu Pro každé přirozené číslo n platí to, že číslo 6 dělí výraz V(n) = 5^2n-1 + 7^n-1. Tuto hypotézu je však nutné dokázat. Zapsáno symbolicky

N; 6 / (5^2n-1 + 7^n-1).
K důkazu použijeme metodu úplné matematické indukce.

I. Pro n = 1 platí: 6/6
II.

N₂; 6 / (5^2k-1 + 7^k-1)

6 / (5^2k+1 + 7^k)
5^2k+1 + 7^k = 25 . 5^2k-1 + 7 . 7^k-1 = (25 . 5^2k-1 + 25 . 7^k-1) - 18 . 7^k-1 = 25 . (5^2k-1 + 7^k-1) - 18 . 7^k-1 =

na základě indukčního předpokladu můžeme psát výraz 5^2k-1 + 7^k-1 ve tvaru 6 . a (a

= 25 . 6 . a - 6 . (3 . 7^k-1) = 6 (25 a - 3 . 7^k-1), tedy platí 6 / (5^2k+1 + 7^k).
Protože platí současně oba kroky úplné matematické indukce, musí platit i formulovaná obecná hypotéza.

Řešení úlohy b)

Do výrazu V(n) = 4^2n-1 + 3ⁿ⁺¹ budeme za n postupně dosazovat přirozená čísla, dostaneme:
n = 1: V(1) = 13
n = 2: V(2) = 91 = 7 . 13
n = 3: V(3) = 1105 = 85 . 13
Výsledky nás vedou k formulování obecné hypotézy

N; 13 / (4^2n-1 + 3ⁿ⁺¹).
Důkaz provedeme úplnou matematickou indukcí.

I. Pro n = 1 platí: 13/13
II.

N₂; 13 / (4^2k-1 + 3^k+1)

13 / (4^2k+1 + 3^k+2)
   4^2k+1 + 3^k+2 = 4² . 4^2k-1 + 3 . 3^k+1 = 16 . 4^2k-1 + (16 . 3^k+1 - 13 . 3^k+1) =
    = (16 . 4^2k-1 + 16 . 3^k+1) - 13 . 3^k+1 = 16 . (4^2k-1 + 3^k+1) - 13 . 3^k+1 = 16 . 13 . a - 13 . 3^k+1 =
    = 13 . (16 . a - 3^k+1), tedy platí 13 / (4^2k+1 + 3^k+2)
   Protože platí současně oba kroky úplné matematické indukce, musí platit dokazovaný výrok.

Řešení úlohy c)

Do výrazu V(n) = 2ⁿ⁺² + 3²ⁿ⁺¹ budeme za n postupně dosazovat přirozená čísla, dostaneme:
n = 1: V(1) = 35 = 5 . 7
n = 2: V(2) = 259 = 37 . 7
n = 3: V(3) = 2219 = 317 . 7
Výsledky nás vedou k formulování obecné hypotézy

N; 7 / (2ⁿ⁺² + 3²ⁿ⁺¹).
Důkaz provedeme úplnou matematickou indukcí.

I. Pro n = 1 platí: 7/35
II.

N₂; 7 / (2^k+2 + 3^2k+1)

7 / (2^k+3 + 3^2k+3)
   2^k+3 + 3^2k+3 = 2 . 2^k+2 + 3² . 3^2k+1 = (9 . 2^k+2 + 9 . 3^2k+1) - 7 . 2^k+2 = 9 . (2^k+2 + 3^2k+1) - 7 . 2^k+2 =
   = 9 . 7 . a - 7 . 2^k+2 = 7 . (9 . a - 2^k+2), tedy 7/(2^k+3 + 3^2k+3)
   Protože platí současně oba kroky úplné matematické indukce, musí platit dokazovaný výrok.

Gymnázium V. Hlavatého, Poděbradova 661, 440 62 Louny