Okruh 13
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
7 -
8 -
9 -
10 -
11 -
12
| |
| 1. | Definujte pojem primitivní funkce a ukažte, že funkce F(x) = sin2x a G(x) = 1 - cos2x jsou primitivní funkce k téže funkci. Určete o jakou konstantu se funkce F(x) a G(x) liší. |
|
Definice pojmu primitivní funkce
Funkce H(x) je primitivní funkcí k funkci h(x) v intervalu (a, b) právě tehdy, když pro každé x z intervalu (a, b) platí, že derivace funkce H(x) je rovna funkci h(x).
Například funkce H(x) = x2 je primitivní funkcí k funkci h(x) = 2 x v intervalu např. (a, b) = (-2, 2), protože (viz uvedená definice) pro každé x z intervalu (-2, 2) platí [H(x)]/ = [x2]/ = 2 x = h(x). Současně je také vidět, že například funkce L(x) = x2 + 7 je také primitivní funkcí k funkci h(x) = 2 x v intervalu např. (a, b) = (-2, 2), protože opět pro každé x z intervalu (-2, 2) platí [L(x)]/ = [x2 + 7]/ = 2 x = h(x). Jestliže zjistíme rozdíl primitivních funkcí H(x) a L(x) pro libovolné x z intervalu (-2, 2), dostaneme L(x) - H(x) = (x2 + 7) - (x2) = 7. Vidíme, že se funkce L(x) a H(x) liší o konstantu c = 7.
řešení úlohy
Funkce F(x) = sin2x má být primitivní funkcí k funkci h(x), nyní ji neznáme, v intervalu (a, b), který také neznáme. Ale víme, že h(x) = [F(x)]′ = [sin2x]′ = ... použijeme větu o derivování složené funkce ... = 2 . sinx . cosx = ... dle známého goniometrického vzorce ... = sin 2x. Protože uvedená derivace platí pro libovolné reálné číslo x, můžeme položit (a, b) = (-  , + ).Podobně pro libovolné x  (- , + ) platí [G(x)]′ = [1 - cos2x]′ =
... použitím věty o derivování rozdílu funkcí a věty o derivování složené funkce dostaneme ...
= - 2 . cosx . (-sinx) = 2 . sinx . cosx = sin 2x.Závěrem tedy můžeme konstatovat, že funkce F(x) i G(x) jsou primitivními funkcemi k funkci h(x) = sin 2x v intervalu (- , + ).Dále zjistíme rozdíl funkcí F(x) - G(x) = sin2x - [1 - cos2x] = sin2x - 1 + cos2x = (sin2x + cos2x) - 1 = 1 - 1 = 0. |
|
| Gymnázium V. Hlavatého, Poděbradova 661, 440 62 Louny |
| © 2005 Milan Rieger - webdesign, grafika |