Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f: y=x² v bodě x₀=1.

Uvědomíme si, že x₀=1, f(x)=x², f(x₀)=1. Dosazením do vzorce pro výpočet derivace dostaneme:

Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f: y=x² v libovolném bodě x₀ z definičního oboru dané funkce.

Definičním oborem dané funkce f: y=x² je množina všech reálných čísel. Tedy x₀ můžeme zvolit libovolně (pevně) z množiny reálných čísel. Reálné číslo x je "pohyblivé" v tom smyslu, že se neomezeně přibližuje k číslu x₀. Vždy však platí, že čísla x₀, x jsou různá. Platí f(x)=x², f(x₀)=(x₀)². Výpočtem derivace podle definice dostáváme:

Porovnáme-li řešení první úlohy (x₀=1) a této obecné úlohy vidíme, že po dosazení do obecné úlohy za x₀=1 dostáváme řešení konkrétné úlohy. Vyplatí se zapamatování obecně dokázaného vzorce, který můžeme slovně formulovat takto: "Derivací funkce x na druhou je funkce 2 x". V matematice zapisujeme tento poznatek symbolicky (je to stručnější, přehlednější a jasnější) rovnicí y'=2x (zapisujeme-li rovnici funkce ve tvaru y=x²) nebo rovnicí f'(x)=2x (zapisujeme-li rovnici funkce ve tvaru f(x)=x²). Dále je nutné rozlišovat mezi derivací funkce v libovolném bodě definičního oboru dané funkce - to je funkce proměnné x. Derivací dané funkce v jednom konkrétním bodě je reálné číslo. Vše je názorně shrnuto v následující tabulce:

Zapsáno symbolicky: